三角関数の近似について考えてみた。
通常であればマクローリン展開で近似すれば良いのだけど、マクローリン展開の式は覚えてもすぐに忘れてしまう。そんなときにテキトーに近似してみたらどうかなと考えてみた。
角度の表記について、普段はrad(radian)を使うのだけど、今回は見やすさを考慮して°(degree)を使った。
マクローリン展開 正弦関数のマクローリン展開 |
MathJaxを利用すると数式をHTMLで記述することができるのだけど、問題が2点ある。はてなでちゃんと表示できるか不明であることと、僕自身がLaTeXを扱えないという問題。前者は試してみればわかるし、そもそもTableで囲ってしまえば普通に表記できることは分かっているので、主に後者の問題である。HTMLとかエクセルを勉強した時みたいにちょこっとずつコマンドを覚えていけばいいかなと思ったりするので、今後気が向いたら少し試してみようと思う。
取り敢えず今回は従来通り画像を貼り付けることにした。
三角関数は角度が0°、30°、45°、60°90°の値を覚えているのでその各値の間を均等に分割して近似値としようと考えた。すると、例えば0~30°の間でsin(x)を求めようとすると、
このように表記できる。名前がないと不便なので、線形近似とでも読んでおく。
こうして90°まで計算してみた。ついでに誤差も出してみた。
角度(degree) | 角度(rad) | sin | 近似値 | 誤差 | 誤差(%) |
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
1 | 0.0175 | 0.0175 | 0.0167 | 0.0008 | 4.5022 |
2 | 0.0349 | 0.0349 | 0.0333 | 0.0016 | 4.4876 |
3 | 0.0524 | 0.0523 | 0.0500 | 0.0023 | 4.4634 |
4 | 0.0698 | 0.0698 | 0.0667 | 0.0031 | 4.4294 |
5 | 0.0873 | 0.0872 | 0.0833 | 0.0038 | 4.3857 |
6 | 0.1047 | 0.1045 | 0.1000 | 0.0045 | 4.3323 |
7 | 0.1222 | 0.1219 | 0.1167 | 0.0052 | 4.2691 |
8 | 0.1396 | 0.1392 | 0.1333 | 0.0058 | 4.1960 |
9 | 0.1571 | 0.1564 | 0.1500 | 0.0064 | 4.1132 |
10 | 0.1745 | 0.1736 | 0.1667 | 0.0070 | 4.0205 |
11 | 0.1920 | 0.1908 | 0.1833 | 0.0075 | 3.9179 |
12 | 0.2094 | 0.2079 | 0.2000 | 0.0079 | 3.8053 |
13 | 0.2269 | 0.2250 | 0.2167 | 0.0083 | 3.6828 |
14 | 0.2443 | 0.2419 | 0.2333 | 0.0086 | 3.5501 |
15 | 0.2618 | 0.2588 | 0.2500 | 0.0088 | 3.4074 |
16 | 0.2793 | 0.2756 | 0.2667 | 0.0090 | 3.2545 |
17 | 0.2967 | 0.2924 | 0.2833 | 0.0090 | 3.0914 |
18 | 0.3142 | 0.3090 | 0.3000 | 0.0090 | 2.9180 |
19 | 0.3316 | 0.3256 | 0.3167 | 0.0089 | 2.7341 |
20 | 0.3491 | 0.3420 | 0.3333 | 0.0087 | 2.5399 |
21 | 0.3665 | 0.3584 | 0.3500 | 0.0084 | 2.3350 |
22 | 0.3840 | 0.3746 | 0.3667 | 0.0079 | 2.1195 |
23 | 0.4014 | 0.3907 | 0.3833 | 0.0074 | 1.8933 |
24 | 0.4189 | 0.4067 | 0.4000 | 0.0067 | 1.6563 |
25 | 0.4363 | 0.4226 | 0.4167 | 0.0060 | 1.4083 |
26 | 0.4538 | 0.4384 | 0.4333 | 0.0050 | 1.1492 |
27 | 0.4712 | 0.4540 | 0.4500 | 0.0040 | 0.8790 |
28 | 0.4887 | 0.4695 | 0.4667 | 0.0028 | 0.5975 |
29 | 0.5061 | 0.4848 | 0.4833 | 0.0015 | 0.3045 |
30 | 0.5236 | 0.5000 | 0.5000 | 0.0000 | 0.0000 |
31 | 0.5411 | 0.5150 | 0.5138 | 0.0012 | 0.2390 |
32 | 0.5585 | 0.5299 | 0.5276 | 0.0023 | 0.4350 |
33 | 0.5760 | 0.5446 | 0.5414 | 0.0032 | 0.5908 |
34 | 0.5934 | 0.5592 | 0.5552 | 0.0040 | 0.7090 |
35 | 0.6109 | 0.5736 | 0.5690 | 0.0045 | 0.7917 |
36 | 0.6283 | 0.5878 | 0.5828 | 0.0049 | 0.8409 |
37 | 0.6458 | 0.6018 | 0.5966 | 0.0052 | 0.8583 |
38 | 0.6632 | 0.6157 | 0.6105 | 0.0052 | 0.8454 |
39 | 0.6807 | 0.6293 | 0.6243 | 0.0051 | 0.8035 |
40 | 0.6981 | 0.6428 | 0.6381 | 0.0047 | 0.7337 |
41 | 0.7156 | 0.6561 | 0.6519 | 0.0042 | 0.6372 |
42 | 0.7330 | 0.6691 | 0.6657 | 0.0034 | 0.5149 |
43 | 0.7505 | 0.6820 | 0.6795 | 0.0025 | 0.3674 |
44 | 0.7679 | 0.6947 | 0.6933 | 0.0014 | 0.1956 |
45 | 0.7854 | 0.7071 | 0.7071 | 0.0000 | 0.0000 |
46 | 0.8029 | 0.7193 | 0.7177 | 0.0016 | 0.2278 |
47 | 0.8203 | 0.7314 | 0.7283 | 0.0031 | 0.4181 |
48 | 0.8378 | 0.7431 | 0.7389 | 0.0043 | 0.5725 |
49 | 0.8552 | 0.7547 | 0.7495 | 0.0052 | 0.6923 |
50 | 0.8727 | 0.7660 | 0.7601 | 0.0060 | 0.7786 |
51 | 0.8901 | 0.7771 | 0.7707 | 0.0065 | 0.8328 |
52 | 0.9076 | 0.7880 | 0.7813 | 0.0067 | 0.8556 |
53 | 0.9250 | 0.7986 | 0.7919 | 0.0068 | 0.8480 |
54 | 0.9425 | 0.8090 | 0.8025 | 0.0066 | 0.8107 |
55 | 0.9599 | 0.8192 | 0.8131 | 0.0061 | 0.7446 |
56 | 0.9774 | 0.8290 | 0.8236 | 0.0054 | 0.6502 |
57 | 0.9948 | 0.8387 | 0.8342 | 0.0044 | 0.5281 |
58 | 1.0123 | 0.8480 | 0.8448 | 0.0032 | 0.3787 |
59 | 1.0297 | 0.8572 | 0.8554 | 0.0017 | 0.2026 |
60 | 1.0472 | 0.8660 | 0.8660 | 0.0000 | 0.0000 |
61 | 1.0647 | 0.8746 | 0.8705 | 0.0041 | 0.4720 |
62 | 1.0821 | 0.8829 | 0.8750 | 0.0080 | 0.9050 |
63 | 1.0996 | 0.8910 | 0.8794 | 0.0116 | 1.3001 |
64 | 1.1170 | 0.8988 | 0.8839 | 0.0149 | 1.6584 |
65 | 1.1345 | 0.9063 | 0.8884 | 0.0180 | 1.9809 |
66 | 1.1519 | 0.9135 | 0.8928 | 0.0207 | 2.2686 |
67 | 1.1694 | 0.9205 | 0.8973 | 0.0232 | 2.5224 |
68 | 1.1868 | 0.9272 | 0.9018 | 0.0254 | 2.7429 |
69 | 1.2043 | 0.9336 | 0.9062 | 0.0274 | 2.9309 |
70 | 1.2217 | 0.9397 | 0.9107 | 0.0290 | 3.0871 |
71 | 1.2392 | 0.9455 | 0.9151 | 0.0304 | 3.2119 |
72 | 1.2566 | 0.9511 | 0.9196 | 0.0314 | 3.3059 |
73 | 1.2741 | 0.9563 | 0.9241 | 0.0322 | 3.3696 |
74 | 1.2915 | 0.9613 | 0.9285 | 0.0327 | 3.4033 |
75 | 1.3090 | 0.9659 | 0.9330 | 0.0329 | 3.4074 |
76 | 1.3265 | 0.9703 | 0.9375 | 0.0328 | 3.3822 |
77 | 1.3439 | 0.9744 | 0.9419 | 0.0324 | 3.3279 |
78 | 1.3614 | 0.9781 | 0.9464 | 0.0317 | 3.2446 |
79 | 1.3788 | 0.9816 | 0.9509 | 0.0308 | 3.1327 |
80 | 1.3963 | 0.9848 | 0.9553 | 0.0295 | 2.9921 |
81 | 1.4137 | 0.9877 | 0.9598 | 0.0279 | 2.8228 |
82 | 1.4312 | 0.9903 | 0.9643 | 0.0260 | 2.6250 |
83 | 1.4486 | 0.9925 | 0.9687 | 0.0238 | 2.3986 |
84 | 1.4661 | 0.9945 | 0.9732 | 0.0213 | 2.1434 |
85 | 1.4835 | 0.9962 | 0.9777 | 0.0185 | 1.8595 |
86 | 1.5010 | 0.9976 | 0.9821 | 0.0154 | 1.5465 |
87 | 1.5184 | 0.9986 | 0.9866 | 0.0120 | 1.2043 |
88 | 1.5359 | 0.9994 | 0.9911 | 0.0083 | 0.8328 |
89 | 1.5533 | 0.9998 | 0.9955 | 0.0043 | 0.4314 |
90 | 1.5708 | 1.0000 | 1.0000 | 0.0000 | 0.0000 |
グラフを見て分かる通り、60~90°の部分で誤差が大きくなる。とは言っても最大で0.0329、割合にして3.4%なので実用上はそう問題ないかなと思う。
ついでに誤差を比較するためにマクローリン展開も計算してみた。
角度(degree) | 角度(rad) | 1 | 誤差 | 誤差(%) | 3 | 誤差 | 誤差(%) | 5 | 誤差 | 誤差(%) |
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
1 | 0.0175 | 0.0175 | 0.0000 | 0.0051 | 0.0175 | 0.0000 | 0.0000 | 0.0175 | 0.0000 | 0.0000 |
2 | 0.0349 | 0.0349 | 0.0000 | 0.0203 | 0.0349 | 0.0000 | 0.0000 | 0.0349 | 0.0000 | 0.0000 |
3 | 0.0524 | 0.0524 | 0.0000 | 0.0457 | 0.0523 | 0.0000 | 0.0000 | 0.0523 | 0.0000 | 0.0000 |
4 | 0.0698 | 0.0698 | 0.0001 | 0.0813 | 0.0698 | 0.0000 | 0.0000 | 0.0698 | 0.0000 | 0.0000 |
5 | 0.0873 | 0.0873 | 0.0001 | 0.1270 | 0.0872 | 0.0000 | 0.0000 | 0.0872 | 0.0000 | 0.0000 |
6 | 0.1047 | 0.1047 | 0.0002 | 0.1830 | 0.1045 | 0.0000 | 0.0001 | 0.1045 | 0.0000 | 0.0000 |
7 | 0.1222 | 0.1222 | 0.0003 | 0.2492 | 0.1219 | 0.0000 | 0.0002 | 0.1219 | 0.0000 | 0.0000 |
8 | 0.1396 | 0.1396 | 0.0005 | 0.3257 | 0.1392 | 0.0000 | 0.0003 | 0.1392 | 0.0000 | 0.0000 |
9 | 0.1571 | 0.1571 | 0.0006 | 0.4124 | 0.1564 | 0.0000 | 0.0005 | 0.1564 | 0.0000 | 0.0000 |
10 | 0.1745 | 0.1745 | 0.0009 | 0.5095 | 0.1736 | 0.0000 | 0.0008 | 0.1736 | 0.0000 | 0.0000 |
11 | 0.1920 | 0.1920 | 0.0012 | 0.6170 | 0.1908 | 0.0000 | 0.0011 | 0.1908 | 0.0000 | 0.0000 |
12 | 0.2094 | 0.2094 | 0.0015 | 0.7348 | 0.2079 | 0.0000 | 0.0016 | 0.2079 | 0.0000 | 0.0000 |
13 | 0.2269 | 0.2269 | 0.0019 | 0.8632 | 0.2249 | 0.0000 | 0.0022 | 0.2250 | 0.0000 | 0.0000 |
14 | 0.2443 | 0.2443 | 0.0024 | 1.0021 | 0.2419 | 0.0000 | 0.0030 | 0.2419 | 0.0000 | 0.0000 |
15 | 0.2618 | 0.2618 | 0.0030 | 1.1515 | 0.2588 | 0.0000 | 0.0040 | 0.2588 | 0.0000 | 0.0000 |
16 | 0.2793 | 0.2793 | 0.0036 | 1.3116 | 0.2756 | 0.0000 | 0.0051 | 0.2756 | 0.0000 | 0.0000 |
17 | 0.2967 | 0.2967 | 0.0043 | 1.4825 | 0.2924 | 0.0000 | 0.0065 | 0.2924 | 0.0000 | 0.0000 |
18 | 0.3142 | 0.3142 | 0.0051 | 1.6641 | 0.3090 | 0.0000 | 0.0082 | 0.3090 | 0.0000 | 0.0000 |
19 | 0.3316 | 0.3316 | 0.0060 | 1.8566 | 0.3255 | 0.0000 | 0.0102 | 0.3256 | 0.0000 | 0.0000 |
20 | 0.3491 | 0.3491 | 0.0070 | 2.0600 | 0.3420 | 0.0000 | 0.0126 | 0.3420 | 0.0000 | 0.0000 |
21 | 0.3665 | 0.3665 | 0.0082 | 2.2745 | 0.3583 | 0.0001 | 0.0153 | 0.3584 | 0.0000 | 0.0000 |
22 | 0.3840 | 0.3840 | 0.0094 | 2.5002 | 0.3745 | 0.0001 | 0.0185 | 0.3746 | 0.0000 | 0.0001 |
23 | 0.4014 | 0.4014 | 0.0107 | 2.7371 | 0.3906 | 0.0001 | 0.0221 | 0.3907 | 0.0000 | 0.0001 |
24 | 0.4189 | 0.4189 | 0.0121 | 2.9853 | 0.4066 | 0.0001 | 0.0263 | 0.4067 | 0.0000 | 0.0001 |
25 | 0.4363 | 0.4363 | 0.0137 | 3.2450 | 0.4225 | 0.0001 | 0.0310 | 0.4226 | 0.0000 | 0.0001 |
26 | 0.4538 | 0.4538 | 0.0154 | 3.5163 | 0.4382 | 0.0002 | 0.0364 | 0.4384 | 0.0000 | 0.0002 |
27 | 0.4712 | 0.4712 | 0.0172 | 3.7993 | 0.4538 | 0.0002 | 0.0424 | 0.4540 | 0.0000 | 0.0002 |
28 | 0.4887 | 0.4887 | 0.0192 | 4.0941 | 0.4692 | 0.0002 | 0.0492 | 0.4695 | 0.0000 | 0.0003 |
29 | 0.5061 | 0.5061 | 0.0213 | 4.4009 | 0.4845 | 0.0003 | 0.0568 | 0.4848 | 0.0000 | 0.0003 |
30 | 0.5236 | 0.5236 | 0.0236 | 4.7198 | 0.4997 | 0.0003 | 0.0652 | 0.5000 | 0.0000 | 0.0004 |
31 | 0.5411 | 0.5411 | 0.0260 | 5.0509 | 0.5147 | 0.0004 | 0.0745 | 0.5150 | 0.0000 | 0.0005 |
32 | 0.5585 | 0.5585 | 0.0286 | 5.3944 | 0.5295 | 0.0004 | 0.0848 | 0.5299 | 0.0000 | 0.0006 |
33 | 0.5760 | 0.5760 | 0.0313 | 5.7505 | 0.5441 | 0.0005 | 0.0962 | 0.5446 | 0.0000 | 0.0008 |
34 | 0.5934 | 0.5934 | 0.0342 | 6.1194 | 0.5586 | 0.0006 | 0.1087 | 0.5592 | 0.0000 | 0.0009 |
35 | 0.6109 | 0.6109 | 0.0373 | 6.5011 | 0.5729 | 0.0007 | 0.1225 | 0.5736 | 0.0000 | 0.0011 |
36 | 0.6283 | 0.6283 | 0.0405 | 6.8959 | 0.5870 | 0.0008 | 0.1375 | 0.5878 | 0.0000 | 0.0013 |
37 | 0.6458 | 0.6458 | 0.0440 | 7.3040 | 0.6009 | 0.0009 | 0.1540 | 0.6018 | 0.0000 | 0.0015 |
38 | 0.6632 | 0.6632 | 0.0476 | 7.7256 | 0.6146 | 0.0011 | 0.1719 | 0.6157 | 0.0000 | 0.0018 |
39 | 0.6807 | 0.6807 | 0.0514 | 8.1609 | 0.6281 | 0.0012 | 0.1914 | 0.6293 | 0.0000 | 0.0021 |
40 | 0.6981 | 0.6981 | 0.0553 | 8.6100 | 0.6414 | 0.0014 | 0.2125 | 0.6428 | 0.0000 | 0.0025 |
41 | 0.7156 | 0.7156 | 0.0595 | 9.0733 | 0.6545 | 0.0015 | 0.2354 | 0.6561 | 0.0000 | 0.0029 |
42 | 0.7330 | 0.7330 | 0.0639 | 9.5509 | 0.6674 | 0.0017 | 0.2603 | 0.6692 | 0.0000 | 0.0033 |
43 | 0.7505 | 0.7505 | 0.0685 | 10.0430 | 0.6800 | 0.0020 | 0.2870 | 0.6820 | 0.0000 | 0.0039 |
44 | 0.7679 | 0.7679 | 0.0733 | 10.5500 | 0.6925 | 0.0022 | 0.3159 | 0.6947 | 0.0000 | 0.0045 |
45 | 0.7854 | 0.7854 | 0.0783 | 11.0721 | 0.7047 | 0.0025 | 0.3471 | 0.7071 | 0.0000 | 0.0051 |
46 | 0.8029 | 0.8029 | 0.0835 | 11.6095 | 0.7166 | 0.0027 | 0.3805 | 0.7194 | 0.0000 | 0.0059 |
47 | 0.8203 | 0.8203 | 0.0890 | 12.1625 | 0.7283 | 0.0030 | 0.4165 | 0.7314 | 0.0000 | 0.0067 |
48 | 0.8378 | 0.8378 | 0.0946 | 12.7315 | 0.7398 | 0.0034 | 0.4551 | 0.7432 | 0.0001 | 0.0077 |
49 | 0.8552 | 0.8552 | 0.1005 | 13.3166 | 0.7510 | 0.0037 | 0.4964 | 0.7548 | 0.0001 | 0.0087 |
50 | 0.8727 | 0.8727 | 0.1066 | 13.9183 | 0.7619 | 0.0041 | 0.5407 | 0.7661 | 0.0001 | 0.0099 |
51 | 0.8901 | 0.8901 | 0.1130 | 14.5368 | 0.7726 | 0.0046 | 0.5880 | 0.7772 | 0.0001 | 0.0112 |
52 | 0.9076 | 0.9076 | 0.1196 | 15.1724 | 0.7830 | 0.0050 | 0.6385 | 0.7881 | 0.0001 | 0.0126 |
53 | 0.9250 | 0.9250 | 0.1264 | 15.8256 | 0.7931 | 0.0055 | 0.6925 | 0.7987 | 0.0001 | 0.0142 |
54 | 0.9425 | 0.9425 | 0.1335 | 16.4967 | 0.8029 | 0.0061 | 0.7500 | 0.8091 | 0.0001 | 0.0160 |
55 | 0.9599 | 0.9599 | 0.1408 | 17.1859 | 0.8125 | 0.0066 | 0.8112 | 0.8193 | 0.0001 | 0.0180 |
56 | 0.9774 | 0.9774 | 0.1483 | 17.8939 | 0.8218 | 0.0073 | 0.8764 | 0.8292 | 0.0002 | 0.0201 |
57 | 0.9948 | 0.9948 | 0.1562 | 18.6208 | 0.8307 | 0.0079 | 0.9457 | 0.8389 | 0.0002 | 0.0225 |
58 | 1.0123 | 1.0123 | 0.1642 | 19.3672 | 0.8394 | 0.0086 | 1.0194 | 0.8483 | 0.0002 | 0.0251 |
59 | 1.0297 | 1.0297 | 0.1726 | 20.1334 | 0.8478 | 0.0094 | 1.0976 | 0.8574 | 0.0002 | 0.0280 |
60 | 1.0472 | 1.0472 | 0.1812 | 20.9200 | 0.8558 | 0.0102 | 1.1806 | 0.8663 | 0.0003 | 0.0312 |
61 | 1.0647 | 1.0647 | 0.1900 | 21.7273 | 0.8635 | 0.0111 | 1.2686 | 0.8749 | 0.0003 | 0.0346 |
62 | 1.0821 | 1.0821 | 0.1992 | 22.5559 | 0.8709 | 0.0120 | 1.3619 | 0.8833 | 0.0003 | 0.0384 |
63 | 1.0996 | 1.0996 | 0.2086 | 23.4062 | 0.8780 | 0.0130 | 1.4607 | 0.8914 | 0.0004 | 0.0426 |
64 | 1.1170 | 1.1170 | 0.2182 | 24.2788 | 0.8847 | 0.0141 | 1.5652 | 0.8992 | 0.0004 | 0.0471 |
65 | 1.1345 | 1.1345 | 0.2282 | 25.1743 | 0.8911 | 0.0152 | 1.6758 | 0.9068 | 0.0005 | 0.0520 |
66 | 1.1519 | 1.1519 | 0.2384 | 26.0930 | 0.8972 | 0.0164 | 1.7927 | 0.9141 | 0.0005 | 0.0574 |
67 | 1.1694 | 1.1694 | 0.2489 | 27.0358 | 0.9029 | 0.0176 | 1.9163 | 0.9211 | 0.0006 | 0.0632 |
68 | 1.1868 | 1.1868 | 0.2596 | 28.0031 | 0.9082 | 0.0190 | 2.0467 | 0.9278 | 0.0006 | 0.0696 |
69 | 1.2043 | 1.2043 | 0.2707 | 28.9955 | 0.9132 | 0.0204 | 2.1845 | 0.9343 | 0.0007 | 0.0765 |
70 | 1.2217 | 1.2217 | 0.2820 | 30.0138 | 0.9178 | 0.0219 | 2.3298 | 0.9405 | 0.0008 | 0.0840 |
71 | 1.2392 | 1.2392 | 0.2937 | 31.0586 | 0.9220 | 0.0235 | 2.4831 | 0.9464 | 0.0009 | 0.0922 |
72 | 1.2566 | 1.2566 | 0.3056 | 32.1306 | 0.9259 | 0.0252 | 2.6448 | 0.9520 | 0.0010 | 0.1010 |
73 | 1.2741 | 1.2741 | 0.3178 | 33.2306 | 0.9294 | 0.0269 | 2.8151 | 0.9574 | 0.0011 | 0.1106 |
74 | 1.2915 | 1.2915 | 0.3303 | 34.3592 | 0.9325 | 0.0288 | 2.9946 | 0.9624 | 0.0012 | 0.1209 |
75 | 1.3090 | 1.3090 | 0.3431 | 35.5173 | 0.9352 | 0.0308 | 3.1835 | 0.9672 | 0.0013 | 0.1321 |
76 | 1.3265 | 1.3265 | 0.3562 | 36.7058 | 0.9375 | 0.0328 | 3.3825 | 0.9717 | 0.0014 | 0.1442 |
77 | 1.3439 | 1.3439 | 0.3695 | 37.9254 | 0.9394 | 0.0350 | 3.5919 | 0.9759 | 0.0015 | 0.1572 |
78 | 1.3614 | 1.3614 | 0.3832 | 39.1770 | 0.9409 | 0.0373 | 3.8123 | 0.9798 | 0.0017 | 0.1713 |
79 | 1.3788 | 1.3788 | 0.3972 | 40.4617 | 0.9419 | 0.0397 | 4.0440 | 0.9835 | 0.0018 | 0.1865 |
80 | 1.3963 | 1.3963 | 0.4115 | 41.7803 | 0.9426 | 0.0422 | 4.2877 | 0.9868 | 0.0020 | 0.2029 |
81 | 1.4137 | 1.4137 | 0.4260 | 43.1339 | 0.9428 | 0.0449 | 4.5439 | 0.9899 | 0.0022 | 0.2205 |
82 | 1.4312 | 1.4312 | 0.4409 | 44.5235 | 0.9426 | 0.0477 | 4.8132 | 0.9926 | 0.0024 | 0.2395 |
83 | 1.4486 | 1.4486 | 0.4561 | 45.9502 | 0.9420 | 0.0506 | 5.0961 | 0.9951 | 0.0026 | 0.2600 |
84 | 1.4661 | 1.4661 | 0.4716 | 47.4152 | 0.9409 | 0.0536 | 5.3934 | 0.9973 | 0.0028 | 0.2819 |
85 | 1.4835 | 1.4835 | 0.4873 | 48.9197 | 0.9394 | 0.0568 | 5.7056 | 0.9992 | 0.0030 | 0.3056 |
86 | 1.5010 | 1.5010 | 0.5034 | 50.4648 | 0.9374 | 0.0602 | 6.0335 | 1.0009 | 0.0033 | 0.3309 |
87 | 1.5184 | 1.5184 | 0.5198 | 52.0520 | 0.9349 | 0.0637 | 6.3777 | 1.0022 | 0.0036 | 0.3582 |
88 | 1.5359 | 1.5359 | 0.5365 | 53.6826 | 0.9320 | 0.0674 | 6.7392 | 1.0033 | 0.0039 | 0.3874 |
89 | 1.5533 | 1.5533 | 0.5535 | 55.3580 | 0.9287 | 0.0712 | 7.1186 | 1.0040 | 0.0042 | 0.4188 |
90 | 1.5708 | 1.5708 | 0.5708 | 57.0796 | 0.9248 | 0.0752 | 7.5168 | 1.0045 | 0.0045 | 0.4525 |
展開は5次まで求めたけど、偶数次はsin(0)が係数としてかかり増加量が0となるので意味がない。結局1,3,5次だけを求めた。5次で殆ど誤差はなくなり、7,9次はおもしろみがないのでここでは5次までを載せた。
マクローリン展開は0付近が最も精度が良く、0から離れるほど精度が悪くなっていく近似式なので、90°に近付くほど指数関数的に誤差が大きくなっていく。
誤差を比較すると、今回求めた近似では3次のマクローリン展開と同程度の精度があることが分かる。全く使えないほどに悪い精度ということはないと思う。
なお、表中でsin(x)の正しい値としているが、計算機でsin(x)を求めるときはマクローリン展開を使っているらしい[1]。かりにエクセルのsin関数がマクローリン展開を使うものだったとすると、マクローリン展開の精度を調べるために、マクローリン展開によって得られた値を使っているという間抜けな事態だということになる。
参考文献
[1]石村 園子, すぐわかる微分積分
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