三角関数の近似

　三角関数の近似について考えてみた。
　通常であればマクローリン展開で近似すれば良いのだけど、マクローリン展開の式は覚えてもすぐに忘れてしまう。そんなときにテキトーに近似してみたらどうかなと考えてみた。
　角度の表記について、普段はrad（radian）を使うのだけど、今回は見やすさを考慮して°(degree)を使った。


マクローリン展開 正弦関数のマクローリン展開

　MathJaxを利用すると数式をHTMLで記述することができるのだけど、問題が2点ある。はてなでちゃんと表示できるか不明であることと、僕自身がLaTeXを扱えないという問題。前者は試してみればわかるし、そもそもTableで囲ってしまえば普通に表記できることは分かっているので、主に後者の問題である。HTMLとかエクセルを勉強した時みたいにちょこっとずつコマンドを覚えていけばいいかなと思ったりするので、今後気が向いたら少し試してみようと思う。
　取り敢えず今回は従来通り画像を貼り付けることにした。
　三角関数は角度が0°、30°、45°、60°90°の値を覚えているのでその各値の間を均等に分割して近似値としようと考えた。すると、例えば0～30°の間でsin(x)を求めようとすると、

このように表記できる。名前がないと不便なので、線形近似とでも読んでおく。
　こうして90°まで計算してみた。ついでに誤差も出してみた。


角度(degree)	角度(rad)	sin	近似値	誤差	誤差(%)
0	0	0	0	0	0
1	0.0175	0.0175	0.0167	0.0008	4.5022
2	0.0349	0.0349	0.0333	0.0016	4.4876
3	0.0524	0.0523	0.0500	0.0023	4.4634
4	0.0698	0.0698	0.0667	0.0031	4.4294
5	0.0873	0.0872	0.0833	0.0038	4.3857
6	0.1047	0.1045	0.1000	0.0045	4.3323
7	0.1222	0.1219	0.1167	0.0052	4.2691
8	0.1396	0.1392	0.1333	0.0058	4.1960
9	0.1571	0.1564	0.1500	0.0064	4.1132
10	0.1745	0.1736	0.1667	0.0070	4.0205
11	0.1920	0.1908	0.1833	0.0075	3.9179
12	0.2094	0.2079	0.2000	0.0079	3.8053
13	0.2269	0.2250	0.2167	0.0083	3.6828
14	0.2443	0.2419	0.2333	0.0086	3.5501
15	0.2618	0.2588	0.2500	0.0088	3.4074
16	0.2793	0.2756	0.2667	0.0090	3.2545
17	0.2967	0.2924	0.2833	0.0090	3.0914
18	0.3142	0.3090	0.3000	0.0090	2.9180
19	0.3316	0.3256	0.3167	0.0089	2.7341
20	0.3491	0.3420	0.3333	0.0087	2.5399
21	0.3665	0.3584	0.3500	0.0084	2.3350
22	0.3840	0.3746	0.3667	0.0079	2.1195
23	0.4014	0.3907	0.3833	0.0074	1.8933
24	0.4189	0.4067	0.4000	0.0067	1.6563
25	0.4363	0.4226	0.4167	0.0060	1.4083
26	0.4538	0.4384	0.4333	0.0050	1.1492
27	0.4712	0.4540	0.4500	0.0040	0.8790
28	0.4887	0.4695	0.4667	0.0028	0.5975
29	0.5061	0.4848	0.4833	0.0015	0.3045
30	0.5236	0.5000	0.5000	0.0000	0.0000
31	0.5411	0.5150	0.5138	0.0012	0.2390
32	0.5585	0.5299	0.5276	0.0023	0.4350
33	0.5760	0.5446	0.5414	0.0032	0.5908
34	0.5934	0.5592	0.5552	0.0040	0.7090
35	0.6109	0.5736	0.5690	0.0045	0.7917
36	0.6283	0.5878	0.5828	0.0049	0.8409
37	0.6458	0.6018	0.5966	0.0052	0.8583
38	0.6632	0.6157	0.6105	0.0052	0.8454
39	0.6807	0.6293	0.6243	0.0051	0.8035
40	0.6981	0.6428	0.6381	0.0047	0.7337
41	0.7156	0.6561	0.6519	0.0042	0.6372
42	0.7330	0.6691	0.6657	0.0034	0.5149
43	0.7505	0.6820	0.6795	0.0025	0.3674
44	0.7679	0.6947	0.6933	0.0014	0.1956
45	0.7854	0.7071	0.7071	0.0000	0.0000
46	0.8029	0.7193	0.7177	0.0016	0.2278
47	0.8203	0.7314	0.7283	0.0031	0.4181
48	0.8378	0.7431	0.7389	0.0043	0.5725
49	0.8552	0.7547	0.7495	0.0052	0.6923
50	0.8727	0.7660	0.7601	0.0060	0.7786
51	0.8901	0.7771	0.7707	0.0065	0.8328
52	0.9076	0.7880	0.7813	0.0067	0.8556
53	0.9250	0.7986	0.7919	0.0068	0.8480
54	0.9425	0.8090	0.8025	0.0066	0.8107
55	0.9599	0.8192	0.8131	0.0061	0.7446
56	0.9774	0.8290	0.8236	0.0054	0.6502
57	0.9948	0.8387	0.8342	0.0044	0.5281
58	1.0123	0.8480	0.8448	0.0032	0.3787
59	1.0297	0.8572	0.8554	0.0017	0.2026
60	1.0472	0.8660	0.8660	0.0000	0.0000
61	1.0647	0.8746	0.8705	0.0041	0.4720
62	1.0821	0.8829	0.8750	0.0080	0.9050
63	1.0996	0.8910	0.8794	0.0116	1.3001
64	1.1170	0.8988	0.8839	0.0149	1.6584
65	1.1345	0.9063	0.8884	0.0180	1.9809
66	1.1519	0.9135	0.8928	0.0207	2.2686
67	1.1694	0.9205	0.8973	0.0232	2.5224
68	1.1868	0.9272	0.9018	0.0254	2.7429
69	1.2043	0.9336	0.9062	0.0274	2.9309
70	1.2217	0.9397	0.9107	0.0290	3.0871
71	1.2392	0.9455	0.9151	0.0304	3.2119
72	1.2566	0.9511	0.9196	0.0314	3.3059
73	1.2741	0.9563	0.9241	0.0322	3.3696
74	1.2915	0.9613	0.9285	0.0327	3.4033
75	1.3090	0.9659	0.9330	0.0329	3.4074
76	1.3265	0.9703	0.9375	0.0328	3.3822
77	1.3439	0.9744	0.9419	0.0324	3.3279
78	1.3614	0.9781	0.9464	0.0317	3.2446
79	1.3788	0.9816	0.9509	0.0308	3.1327
80	1.3963	0.9848	0.9553	0.0295	2.9921
81	1.4137	0.9877	0.9598	0.0279	2.8228
82	1.4312	0.9903	0.9643	0.0260	2.6250
83	1.4486	0.9925	0.9687	0.0238	2.3986
84	1.4661	0.9945	0.9732	0.0213	2.1434
85	1.4835	0.9962	0.9777	0.0185	1.8595
86	1.5010	0.9976	0.9821	0.0154	1.5465
87	1.5184	0.9986	0.9866	0.0120	1.2043
88	1.5359	0.9994	0.9911	0.0083	0.8328
89	1.5533	0.9998	0.9955	0.0043	0.4314
90	1.5708	1.0000	1.0000	0.0000	0.0000


　グラフを見て分かる通り、60～90°の部分で誤差が大きくなる。とは言っても最大で0.0329、割合にして3.4%なので実用上はそう問題ないかなと思う。
　ついでに誤差を比較するためにマクローリン展開も計算してみた。


角度(degree)	角度(rad)	1	誤差	誤差(%)	3	誤差	誤差(%)	5	誤差	誤差(%)
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0.0175	0.0175	0.0000	0.0051	0.0175	0.0000	0.0000	0.0175	0.0000	0.0000
2	0.0349	0.0349	0.0000	0.0203	0.0349	0.0000	0.0000	0.0349	0.0000	0.0000
3	0.0524	0.0524	0.0000	0.0457	0.0523	0.0000	0.0000	0.0523	0.0000	0.0000
4	0.0698	0.0698	0.0001	0.0813	0.0698	0.0000	0.0000	0.0698	0.0000	0.0000
5	0.0873	0.0873	0.0001	0.1270	0.0872	0.0000	0.0000	0.0872	0.0000	0.0000
6	0.1047	0.1047	0.0002	0.1830	0.1045	0.0000	0.0001	0.1045	0.0000	0.0000
7	0.1222	0.1222	0.0003	0.2492	0.1219	0.0000	0.0002	0.1219	0.0000	0.0000
8	0.1396	0.1396	0.0005	0.3257	0.1392	0.0000	0.0003	0.1392	0.0000	0.0000
9	0.1571	0.1571	0.0006	0.4124	0.1564	0.0000	0.0005	0.1564	0.0000	0.0000
10	0.1745	0.1745	0.0009	0.5095	0.1736	0.0000	0.0008	0.1736	0.0000	0.0000
11	0.1920	0.1920	0.0012	0.6170	0.1908	0.0000	0.0011	0.1908	0.0000	0.0000
12	0.2094	0.2094	0.0015	0.7348	0.2079	0.0000	0.0016	0.2079	0.0000	0.0000
13	0.2269	0.2269	0.0019	0.8632	0.2249	0.0000	0.0022	0.2250	0.0000	0.0000
14	0.2443	0.2443	0.0024	1.0021	0.2419	0.0000	0.0030	0.2419	0.0000	0.0000
15	0.2618	0.2618	0.0030	1.1515	0.2588	0.0000	0.0040	0.2588	0.0000	0.0000
16	0.2793	0.2793	0.0036	1.3116	0.2756	0.0000	0.0051	0.2756	0.0000	0.0000
17	0.2967	0.2967	0.0043	1.4825	0.2924	0.0000	0.0065	0.2924	0.0000	0.0000
18	0.3142	0.3142	0.0051	1.6641	0.3090	0.0000	0.0082	0.3090	0.0000	0.0000
19	0.3316	0.3316	0.0060	1.8566	0.3255	0.0000	0.0102	0.3256	0.0000	0.0000
20	0.3491	0.3491	0.0070	2.0600	0.3420	0.0000	0.0126	0.3420	0.0000	0.0000
21	0.3665	0.3665	0.0082	2.2745	0.3583	0.0001	0.0153	0.3584	0.0000	0.0000
22	0.3840	0.3840	0.0094	2.5002	0.3745	0.0001	0.0185	0.3746	0.0000	0.0001
23	0.4014	0.4014	0.0107	2.7371	0.3906	0.0001	0.0221	0.3907	0.0000	0.0001
24	0.4189	0.4189	0.0121	2.9853	0.4066	0.0001	0.0263	0.4067	0.0000	0.0001
25	0.4363	0.4363	0.0137	3.2450	0.4225	0.0001	0.0310	0.4226	0.0000	0.0001
26	0.4538	0.4538	0.0154	3.5163	0.4382	0.0002	0.0364	0.4384	0.0000	0.0002
27	0.4712	0.4712	0.0172	3.7993	0.4538	0.0002	0.0424	0.4540	0.0000	0.0002
28	0.4887	0.4887	0.0192	4.0941	0.4692	0.0002	0.0492	0.4695	0.0000	0.0003
29	0.5061	0.5061	0.0213	4.4009	0.4845	0.0003	0.0568	0.4848	0.0000	0.0003
30	0.5236	0.5236	0.0236	4.7198	0.4997	0.0003	0.0652	0.5000	0.0000	0.0004
31	0.5411	0.5411	0.0260	5.0509	0.5147	0.0004	0.0745	0.5150	0.0000	0.0005
32	0.5585	0.5585	0.0286	5.3944	0.5295	0.0004	0.0848	0.5299	0.0000	0.0006
33	0.5760	0.5760	0.0313	5.7505	0.5441	0.0005	0.0962	0.5446	0.0000	0.0008
34	0.5934	0.5934	0.0342	6.1194	0.5586	0.0006	0.1087	0.5592	0.0000	0.0009
35	0.6109	0.6109	0.0373	6.5011	0.5729	0.0007	0.1225	0.5736	0.0000	0.0011
36	0.6283	0.6283	0.0405	6.8959	0.5870	0.0008	0.1375	0.5878	0.0000	0.0013
37	0.6458	0.6458	0.0440	7.3040	0.6009	0.0009	0.1540	0.6018	0.0000	0.0015
38	0.6632	0.6632	0.0476	7.7256	0.6146	0.0011	0.1719	0.6157	0.0000	0.0018
39	0.6807	0.6807	0.0514	8.1609	0.6281	0.0012	0.1914	0.6293	0.0000	0.0021
40	0.6981	0.6981	0.0553	8.6100	0.6414	0.0014	0.2125	0.6428	0.0000	0.0025
41	0.7156	0.7156	0.0595	9.0733	0.6545	0.0015	0.2354	0.6561	0.0000	0.0029
42	0.7330	0.7330	0.0639	9.5509	0.6674	0.0017	0.2603	0.6692	0.0000	0.0033
43	0.7505	0.7505	0.0685	10.0430	0.6800	0.0020	0.2870	0.6820	0.0000	0.0039
44	0.7679	0.7679	0.0733	10.5500	0.6925	0.0022	0.3159	0.6947	0.0000	0.0045
45	0.7854	0.7854	0.0783	11.0721	0.7047	0.0025	0.3471	0.7071	0.0000	0.0051
46	0.8029	0.8029	0.0835	11.6095	0.7166	0.0027	0.3805	0.7194	0.0000	0.0059
47	0.8203	0.8203	0.0890	12.1625	0.7283	0.0030	0.4165	0.7314	0.0000	0.0067
48	0.8378	0.8378	0.0946	12.7315	0.7398	0.0034	0.4551	0.7432	0.0001	0.0077
49	0.8552	0.8552	0.1005	13.3166	0.7510	0.0037	0.4964	0.7548	0.0001	0.0087
50	0.8727	0.8727	0.1066	13.9183	0.7619	0.0041	0.5407	0.7661	0.0001	0.0099
51	0.8901	0.8901	0.1130	14.5368	0.7726	0.0046	0.5880	0.7772	0.0001	0.0112
52	0.9076	0.9076	0.1196	15.1724	0.7830	0.0050	0.6385	0.7881	0.0001	0.0126
53	0.9250	0.9250	0.1264	15.8256	0.7931	0.0055	0.6925	0.7987	0.0001	0.0142
54	0.9425	0.9425	0.1335	16.4967	0.8029	0.0061	0.7500	0.8091	0.0001	0.0160
55	0.9599	0.9599	0.1408	17.1859	0.8125	0.0066	0.8112	0.8193	0.0001	0.0180
56	0.9774	0.9774	0.1483	17.8939	0.8218	0.0073	0.8764	0.8292	0.0002	0.0201
57	0.9948	0.9948	0.1562	18.6208	0.8307	0.0079	0.9457	0.8389	0.0002	0.0225
58	1.0123	1.0123	0.1642	19.3672	0.8394	0.0086	1.0194	0.8483	0.0002	0.0251
59	1.0297	1.0297	0.1726	20.1334	0.8478	0.0094	1.0976	0.8574	0.0002	0.0280
60	1.0472	1.0472	0.1812	20.9200	0.8558	0.0102	1.1806	0.8663	0.0003	0.0312
61	1.0647	1.0647	0.1900	21.7273	0.8635	0.0111	1.2686	0.8749	0.0003	0.0346
62	1.0821	1.0821	0.1992	22.5559	0.8709	0.0120	1.3619	0.8833	0.0003	0.0384
63	1.0996	1.0996	0.2086	23.4062	0.8780	0.0130	1.4607	0.8914	0.0004	0.0426
64	1.1170	1.1170	0.2182	24.2788	0.8847	0.0141	1.5652	0.8992	0.0004	0.0471
65	1.1345	1.1345	0.2282	25.1743	0.8911	0.0152	1.6758	0.9068	0.0005	0.0520
66	1.1519	1.1519	0.2384	26.0930	0.8972	0.0164	1.7927	0.9141	0.0005	0.0574
67	1.1694	1.1694	0.2489	27.0358	0.9029	0.0176	1.9163	0.9211	0.0006	0.0632
68	1.1868	1.1868	0.2596	28.0031	0.9082	0.0190	2.0467	0.9278	0.0006	0.0696
69	1.2043	1.2043	0.2707	28.9955	0.9132	0.0204	2.1845	0.9343	0.0007	0.0765
70	1.2217	1.2217	0.2820	30.0138	0.9178	0.0219	2.3298	0.9405	0.0008	0.0840
71	1.2392	1.2392	0.2937	31.0586	0.9220	0.0235	2.4831	0.9464	0.0009	0.0922
72	1.2566	1.2566	0.3056	32.1306	0.9259	0.0252	2.6448	0.9520	0.0010	0.1010
73	1.2741	1.2741	0.3178	33.2306	0.9294	0.0269	2.8151	0.9574	0.0011	0.1106
74	1.2915	1.2915	0.3303	34.3592	0.9325	0.0288	2.9946	0.9624	0.0012	0.1209
75	1.3090	1.3090	0.3431	35.5173	0.9352	0.0308	3.1835	0.9672	0.0013	0.1321
76	1.3265	1.3265	0.3562	36.7058	0.9375	0.0328	3.3825	0.9717	0.0014	0.1442
77	1.3439	1.3439	0.3695	37.9254	0.9394	0.0350	3.5919	0.9759	0.0015	0.1572
78	1.3614	1.3614	0.3832	39.1770	0.9409	0.0373	3.8123	0.9798	0.0017	0.1713
79	1.3788	1.3788	0.3972	40.4617	0.9419	0.0397	4.0440	0.9835	0.0018	0.1865
80	1.3963	1.3963	0.4115	41.7803	0.9426	0.0422	4.2877	0.9868	0.0020	0.2029
81	1.4137	1.4137	0.4260	43.1339	0.9428	0.0449	4.5439	0.9899	0.0022	0.2205
82	1.4312	1.4312	0.4409	44.5235	0.9426	0.0477	4.8132	0.9926	0.0024	0.2395
83	1.4486	1.4486	0.4561	45.9502	0.9420	0.0506	5.0961	0.9951	0.0026	0.2600
84	1.4661	1.4661	0.4716	47.4152	0.9409	0.0536	5.3934	0.9973	0.0028	0.2819
85	1.4835	1.4835	0.4873	48.9197	0.9394	0.0568	5.7056	0.9992	0.0030	0.3056
86	1.5010	1.5010	0.5034	50.4648	0.9374	0.0602	6.0335	1.0009	0.0033	0.3309
87	1.5184	1.5184	0.5198	52.0520	0.9349	0.0637	6.3777	1.0022	0.0036	0.3582
88	1.5359	1.5359	0.5365	53.6826	0.9320	0.0674	6.7392	1.0033	0.0039	0.3874
89	1.5533	1.5533	0.5535	55.3580	0.9287	0.0712	7.1186	1.0040	0.0042	0.4188
90	1.5708	1.5708	0.5708	57.0796	0.9248	0.0752	7.5168	1.0045	0.0045	0.4525



　展開は5次まで求めたけど、偶数次はsin(0)が係数としてかかり増加量が0となるので意味がない。結局1,3,5次だけを求めた。5次で殆ど誤差はなくなり、7,9次はおもしろみがないのでここでは5次までを載せた。
　マクローリン展開は0付近が最も精度が良く、0から離れるほど精度が悪くなっていく近似式なので、90°に近付くほど指数関数的に誤差が大きくなっていく。
　誤差を比較すると、今回求めた近似では3次のマクローリン展開と同程度の精度があることが分かる。全く使えないほどに悪い精度ということはないと思う。
　なお、表中でsin(x)の正しい値としているが、計算機でsin(x)を求めるときはマクローリン展開を使っているらしい^[1]。かりにエクセルのsin関数がマクローリン展開を使うものだったとすると、マクローリン展開の精度を調べるために、マクローリン展開によって得られた値を使っているという間抜けな事態だということになる。

参考文献
[1]石村 園子, すぐわかる微分積分

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