双子球の体積

　双子球の体積の計算。
　双子球というのは下の図のように雪だるまみたいに2つの球体がくっついたもの。数学的に定義されているわけではなく、僕が勝手に名づけた。

　こいつの体積を計算しようという試み。
　普通に高校で数学やってれば計算できるので、特に悩む問題でもない。
　使う公式は回転体の体積を求めるやつ。高校数学で一番華やかな部分だね。

関数 y = f(x) で xy-平面上に描かれる平面曲線と x 軸が単純閉曲線をつくるとき、それが囲む図形を回転させたときの回転体の体積は次のようである

　求める手順としては上記公式で端の切れた球体の体積を求めて2倍する。実に安易に求まる。

　半径rの円を考える。中心を原点Oにすると次の式で表される。
　　x² + y² = r²
　これを式変形して"y="の形にする。
　　y=±(r² - x²)^1/2
　htmlだとルートの表記が面倒になるので1/2乗で表記する。この場合 x,y≦r だけど、 x,y≧r のとき虚数空間に色々と夢が広がっている。今回は関係ないので x,y≦r とする。
　回転体の体積を求めるための式なので、 y<0 の部分は不要。なので、右辺の負号は正とする。
　　y=(r² - x²)^1/2
　というわけで、これが半円を表す方程式。
　球体の端を切るので x=k の位置で円を切断し、切断した先の体積を求めて、球全体から引く方向で計算する。
　求める切れ端は図で表現すると次のようになる。

　そんなわけで、半円の方程式を回転体の体積の公式に入れる。積分範囲はk→r。

　半径rの球の体積 4/3･πｒ³ から上で求めた切れ端の体積を引く。
　　4/3･πｒ³ - π(2/3･r³ - r²k + 1/3･k³)
　　=1/3･π(2r³ + 3r²k - k³)
　これが下図に示す形状の端の切れた球の体積。

これが2つある双子球の体積は
　2/3･π(2r³ + 3r²k - k³)
となる。