桜井神社の算額より2

 安城の桜井神社に算額が奉納されている。

 以前のエントリーで、この「中円」と書かれた円と三角形と正方形の大きさについて説明した。
 今回は大円、中円、小円の大きさの関係について説明する。とはいっても、地道に計算するだけなので、あんまり面白みはない。
 なお、算額の問題自体はこちら(魚拓)に解説がある。


図のように3つの円と直線がそれぞれ接しているとき、3つの円の半径をそれぞれr1, r2, r3(r1≧r2>r3)とすると、
{ \displaystyle  \frac{1}{\sqrt{r_1}}+\frac{1}{\sqrt{r_2}} = \frac{1}{\sqrt{r_3}} }
となる。


 3つの円をそれぞれ、円1、円2、円3として、その半径をr1, r2, r3とする。なお、r1≧r2>r3とする。これらの円の中心同士の横方向の距離を図のようにd12, d13, d23とする。
 d12は、円1と円2の中心を結んだ線分を斜辺とする直角三角形を使って、以下のように求められる。

{ \displaystyle {d_{12}}^2+(r1-r2)^2 = (r1+r2)^2 \\ \displaystyle {d_{12}}^2 = (r1+r2)^2 - (r1-r2)^2 \\ \displaystyle \qquad = {r_1}^2+2r_1 r_2 + {r_2}^2 -({r_1}^2 - 2r_1 r_2 + {r_2}^2) \\ \displaystyle \qquad = 4r_1 r_2 \\ \displaystyle d_{12} = 2 \sqrt{r_1 r_2} }
 同様に、
{ \displaystyle d_{13} = 2 \sqrt{r_1 r_3} \\ \displaystyle d_{23} = 2 \sqrt{r_2 r_3} }
となる。
 d12はd13とd23を足した長さに等しいので、
{ \displaystyle d_{12} = d_{13} + d_{23} }
 これを展開するとr1, r2, r3の関係が求められる。
{ \displaystyle 2 \sqrt{r_1 r_2} = \sqrt{r_1 r_3} + 2 \sqrt{r_2 r_3} \\ \displaystyle \sqrt{r_1 r_2} = ( \sqrt{r_1} + \sqrt{r_2})\sqrt{r_3} \\ \displaystyle \sqrt{r_3} = \frac{\sqrt{r_1 r_2}}{\sqrt{r_1} + \sqrt{r_2}} \\ \displaystyle \frac{1}{\sqrt{r_3}} = \frac{\sqrt{r_1} + \sqrt{r_2}}{\sqrt{r_1 r_2}} \\ \displaystyle \frac{1}{\sqrt{r_3}} = \frac{1}{\sqrt{r_1}}+\frac{1}{\sqrt{r_2}} }
 以上。あんまり面白くない導出である。

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